动手学深度学习-12

权重衰退

我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合，但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，我们便可以将重点放在正则化技术上
限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术，然而，简单地丢弃特征对这项工作来说可能过于生硬。仅仅通过简单的限制特征数量（在多项式回归中体现为限制阶数），可能仍然使模型在过简单和过复杂中徘徊，我们需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂度，使其达到一个合适的平衡位置

范数与权重衰减

在训练参数化机器学习模型时，权重衰减是最广泛使用的正则化的技术之一，它通常也被称为正则化。
这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度，一种简单的方法是通过线性函数中的权重向量的某个范数来度量其复杂性，例如。要保证权重向量比较小，最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失，调整为最小化预测损失和惩罚项之和。
现在，如果我们的权重向量增长的太大，我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数
我们通过正则化常数来加入这个额外惩罚的损失，这是一个非负的超参数
此外，为什么我们首先使用范数，而不是范数。
事实上，这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎。正则化线性模型构成经典的岭回归（ridgeregression）算法，正则化线性回归是统计学中类似的基本模型，通常被称为套索回归（lasso regression）。使用范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。相比之下，惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上，而将其他权重清除为零。这称为特征选择（feature selection），这可能是其他场景下需要的。
通常，网络输出层的偏置项不会被正则化

高维线性回归

通过一个简单的例子来演示权重衰减

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

生成一些数据

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5

true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05

train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)

train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)

test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)

test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

从零开始实现

初始化模型参数

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    
    return [w, b]

定义范数惩罚

实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和

def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

定义训练代码实现

def train(lambd):
    w, b = init_params()

    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss

    num_epochs, lr = 100, 0.003

    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log', xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])

    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_itrt:
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)

            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss), d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w), item())

简洁实现

由于权重衰减在神经网络优化中很常用，深度学习框架为了便于我们使用权重衰减，将权重衰减集成到优化算法中，以便与任何损失函数结合使用。此外，这种集成还有计算上的好处，允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值，因此优化器必须至少接触每个参数一次

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))

    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()

    loss = nn.MSELoss(reduction='none')

    num_epochs, lr = 100, 0.003

    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight, "weight_decay":wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)

    animator = d2l.Animator(xlabel="epochs", ylabel="loss", yscale="log", xlim=[5, num_epochs], legend=["train", "test"])

    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss), d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    
    print('w的L2范数是：', net[0].weight.norm().item())

小结

正则化是处理过拟合的常用方法：在训练集的损失函数中加入惩罚项，以降低学习到的模型的复杂度
保持模型简单的一个特别的选择是使用惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减
权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供
在同一训练代码实现中，不同的参数集可以有不同的更新行为

QA

权重衰减通常选0.01, 0.001，0.0001等。权重衰减对比较复杂的神经网络作用不大

敖炜的博客